Cubo perfecto de binomios

Caso #8: Cubo perfecto de binomios

► a^3 + 3a^2 + 3a + 1 → Primero se debe verificar que la expresión esté ordenada, luego se revisa si es el cubo de un binomio de la siguiente forma:

*La raíz cuadrada del primer y cuarto termino deben ser exactas

√a^3 = a

√1 = 1

*El segundo termino debe ser el resultado de 3, por la primera raíz que hallamos al cuadrado, por la segunda raíz

3 (a)^2 (1) = 3a^2

*El tercer termino debe ser el resultado de 3, por la primera raíz que hallamos, por la segunda raíz al cuadrado

3 (a) (1)^2 = 3a

Verificado ésto, el resultado será las dos raíces ya halladas al cubo con el signo del segundo termino:

(a + 1)^3

Trinomio de la forma ax^2 + bx +c

Caso #7: Trinomio de la forma ax^2 + bx +c

► 2x^2 + 3x - 2 → Se multiplica todo por el coeficiente del primer termino dejando la multiplicación del segundo termino sin resolver:

2(2x^2 + 3x - 2)

4x^2 + 2 (3x) - 4 = 4x^2 + 3 (2x) - 4

Ahora se hace por trinomio de la forma x^2 + bx + c:

4x^2 + 3 (2x) - 4

(2x + 4) (2x - 1)

Como lo habíamos multiplicado por 2 ahora debemos dividirlo por la misma cifra para que el trinomio no varíe:

(2x + 4) (2x - 1) 

2

Y esta será el resultado:

(x + 2) (2x - 1)

► 20y^2 + y - 1 → Se multiplica todo por el coeficiente del primer termino dejando la multiplicación del segundo termino sin resolver:

20(20y^2 + y - 1)

400y^2 + 20 (y) - 20 = 400y^2 + 1 (20y) - 20

Ahora se hace por trinomio de la forma x^2 + bx + c:

400y^2 + 1 (20y) - 20

(20y + 5) (20y - 4)

Como lo habíamos multiplicado por 20 ahora debemos dividirlo por la misma cifra para que el trinomio no varíe:

(20y + 5) (20y - 4) 

20

Pero como ninguno de los dos binomios es divisible por 20, descomponemos el 20 en 5 por 4, y así dividir el primer binomio en 5 y el segundo en 4:

(20y + 5) (20y - 4) 

5 x 4

Y esta será el resultado:

(4y + 1) (5y - 1)

► 30x^2 + 13x - 10 → Se multiplica todo por el coeficiente del primer termino dejando la multiplicación del segundo termino sin resolver:

30(30x^2 + 13x - 10)

900x^2 + 30 (13x) - 300 = 900x^2 + 13 (30x) - 300

Ahora se hace por trinomio de la forma x^2 + bx + c:

900x^2 + 13 (30x) - 300

(30x + 25) (30x - 12)

Como lo habíamos multiplicado por 30 ahora debemos dividirlo por la misma cifra para que el trinomio no varíe:

(30x + 25) (30x - 12) 

30

Pero como ninguno de los dos binomios es divisible por 30, descomponemos el 30 en 5 por 6, y así dividir el primer binomio en 5 y el segundo en 6:

(30x + 25) (30x - 12) 

5 x 6

Y esta será el resultado:

(6x + 5) (5x - 2)

Trinomio de la forma x^2 + bx + c

Caso #6: Trinomio de la forma x^2 + bx + c

► x^2 + 7x + 10 → Primero sacamos la raíz cuadrada del primer termino y se pone entre paréntesis dos veces, de la siguiente forma:

√x^2 = x

(x       ) (x       )

*signo del segundo termino: +7x en el primer paréntesis

(x+     ) (x       )

*multiplicación de los signos del segundo por el tercer termino: +7x + 10 (+ por + da +) en el segundo paréntesis

(x+     ) (x+     )

Como tenemos los dos binomios con signos iguales buscaremos dos números que sumados den 7 (segundo termino) y multiplicados den 10 (tercer termino) y éste será el resultado:

(x + 5) (x + 2)

► x^2 - 9x + 8 → Se saca la raíz cuadrada de x^2, el  signo del primer binomio será - y el del segundo binomio será - (- por + da -), por lo tanto quedará así:

√x^2 = x

(x -   ) (x -   )

Como tenemos los dos binomios con signos iguales buscaremos dos números que sumados den 9 y multiplicados den 8 y éste será el resultado:

(x - 8) (x - 1)

► x^2 + x - 132 → Se saca la raíz cuadrada de x^2, el  signo del primer binomio será + y el del segundo binomio será - (+ por - da -), por lo tanto quedará así:

√x^2 = x

(x +   ) (x -   )

Como tenemos los dos binomios con signos distintos buscaremos dos números que restados den 1 y multiplicados den 132 y éste será el resultado:

(x + 12) (x - 11)

► m^2 - 8m - 1008 → Se saca la raíz cuadrada de m^2, el  signo del primer binomio será - y el del segundo binomio será + (- por - da +), por lo tanto quedará así:

√m^2 = m

(m -   ) (m +   )

Como tenemos los dos binomios con signos distintos buscaremos dos números que restados den 8 y multiplicados den 1008 y éste será el resultado:

(x - 36) (x + 28)

Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

Caso #5: Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

► a^4 + a^2 + 1 → Al revisar, nos damos cuenta que no es trinomio cuadrado perfecto porque el segundo termino debería ser 2a^2, entonces para convertirlo en trinomio cuadrado perfecto, le sumaremos a^2, pero para que el trinomio no varíe, debemos también restarlo, de la siguiente forma:

a^4 + a^2 + 1

                  a^2      - a^2

       a^4 + 2a^2 + 1 - a^2

Ahora que si es trinomio cuadrado perfecto se factoriza así:

(a^4 + 2a^2 + 1) - a^2

(a^2+1)^2 - a^2

Ahora se factoriza por diferencia de cuadrado perfecto:

√(a^2 + 1)^2 = a^2 + 1

√a^2 = a

(a^2 + 1 + a) (a^2 + 1 - a)

Y éste será el resultado:

(a^2 + a +1) (a^2 - a + 1)

► 25a^4 + 54a^2b^2 + 49b^4 → Se convierte en trinomio cuadrado perfecto, se factoriza y luego se hace la diferencia de cuadrados perfectos:

25a^4 + 54a^2b^2 + 49b^4

                                16a^2b^2                 - 16a^2b^2

                  (25a^4 + 70a^2b^2 + 49b^4) - 16a^2b^2

√25a^4 =5a^2

√49b^4 = 7b^2

(5a^2 + 7b^2)^2 - 16a^2b^2

√(5a^2 + 7b^2)^2 = 5a^2 + 7b^2

√16a^2b^2 = 4ab

(5a^2 + 7b^2 + 4ab) (5a^2 + 7b^2 - 4ab)

Y éste será el resultado:

(5a^2 + 4ab + 7b^2) (5a^2 - 4ab + 7b^2)

► 81a^4b^8 - 292a^2b^4x^8 + 256x^16 → Se convierte en trinomio cuadrado perfecto, se factoriza y luego se hace la diferencia de cuadrados perfectos:

81a^4b^8 - 292a^2b^4x^8 + 256x^16

                                            4a^2b^4x^8                    - 4a^2b^4x^8

                      (81a^4b^8 - 288a^2b^4x^8 + 256x^16) - 4a^2b^4x^8

√81a^4b^8 = 9a^2b^4

√256x^16 = 16x^8

(9a^2b^4 - 16x^8)^2 - 4a^2b^4x^8

√(9a^2b^4 - 16x^8)^2 = 9a^2b^4 - 16x^8

√4a^2b^4x^8 = 2ab^2x^4

(9a^2b^4 - 16x^8 + 2ab^2x^4) (9a^2b^4 - 16x^8 - 2ab^2x^4)

Y éste será el resultado:

(9a^2b^4 + 2ab^2x^4 - 16x^8) (9a^2b^4 - 2ab^2x^4 - 16x^8)

Diferencia de cuadrados perfectos

Caso #4: Diferencia de cuadrados perfectos

► x^2 - y^2 → Se sacará la raíz cuadrada de los dos términos:

√x^2 = x

√y^2 = y

El resultado de esta factorización será la multiplicación de la suma de estas raíces por su diferencia de la siguiente manera:

(x + y) (x - y)

► 100 - x^2y^6 → Se sacan las raíces cuadradas:

√100 = 10

√x^2y^6 = xy^3

Por lo tanto el resultado será:

(10 + xy^3) (10 - xy^3)

► 361x^14 - 1 → Raíz cuadrada:

√361x^14 = 19x^7

√1 = 1

Por lo tanto el resultado será:

(19x^7 + 1) (19x^7 - 1)

► 1/100 - x^2n → Se sacan las raices:

√   1     =  1 

   100     10

√x^2n = x^n

Por lo tanto el resultado será:

(1/10 + x^n) (1/10 - x^n)

Trinomio cuadrado perfecto

Caso #3: Trinomio cuadrado perfecto

► a^2 - 2ab + b^2 → En este caso se debe hallar la raíz cuadrada del primer y del tercer termino (deberán ser exactas porque si no lo son no se considera como trinomio cuadrado perfecto):

√a^2 = a

√b^2 = b

El resultado será:

(a - b)^2

Es decir, el resultado de la raíz cuadrada del primer termino, el signo del segundo termino, y el resultado de la raíz cuadrada del tercer termino, todo esto elevado a la 2.

► a^2 - 24am^2x^2 + 144m^4x^4 → Se sacan las raíces:

√a^2 = a

√144m^4x^4 = 12m^2x^2

Por lo tanto el resultado será:

(a - 12m^2x^2)^2

► a^2 + 2a (a + b) + (a + b)^2 → Raíz cuadrada del primero y ultimo:

√a^2 = a

√(a + b)^2 = a + b

Por lo tanto el resultado será:

(a + a + b)^2 = (2a + b)^2

► 9 (x - y)^2 + 12 (x - y) (x + y) + 4 (x + y)^2 → Raíz cuadrada:

√9 (x - y)^2 = 3 (x - y)

√4 (x + y)^2 = 2 (x + y)

Por lo tanto el resultado será:

[(3 (x - y)) + (2 (x + y))]^2 = (3x - 3y + 2x + 2y)^2

= (5x - y)^2

Factor común por agrupación de términos

Caso #2: Factor común por agrupación de términos

Factorar o descomponer en dos factores:

► a^2 + ab + ax + bx → Vemos que el primer termino tiene factor comun con el segundo, y el tercero con el cuarto, por lo que los agrupamos de la siguiente manera: (a^2 + ab) + (ax + bx). Ahora resolvemos sacando factor comun así:

a (a + b) + x (a + b)

Aquí podemos decir que el factor común es (a + b), por lo tanto la respuesta será:

(a + b) (a + x).

► 3abx^2 - 2y^2 - 2x^2 + 3aby^2 → El primer termino tiene factor común con el tercero, y el segundo con el cuarto, por lo tanto:

x^2 (3ab - 2) + y^2 (-2 + 3ab)

Aquí encontramos como factor común (3ab - 2), es decir que la respuesta será:

(x^2 + y^2) (3ab - 2)

► 1 + a + 3ab + 3b → Podemos hacerlo de dos maneras: el primero con el segundo y el tercero con el cuarto; o el primero con el cuarto y el segundo con el tercero. De cualquier forma deberá dar el mismo resultado.

1 (1 + a) + 3b (a + 1) ........ o ........ 1 (1 + 3b) + a (1 + 3b)

En cualquiera de las dos formas el resultado será:

(1 + 3b) (1 + a)

► a^2b^3 - n^4 + a^2b^3x^2 - n^4x^2 - 3a^2b^3x + 3n^4x → Aquí sacaremos factor común entre el primero y el tercero, el segundo con el cuarto, y el quinto con el sexto de la siguiente manera:

a^2b^3 (1 + x^2) - n^4 (1 + x^2) - 3x (a^2b^3 - n^4)

(1 + x^2) (a^2b^3 - n^4) - 3x (a^2b^3 - n^4)

Por lo tanto el resultado será:

(1 + x^2 - 3x) (a^2b^3 - n^4)

Factor común

Caso #1: Factor común

• Monomio 

Factorar o descomponer en dos factores:

► a^2 + ab → En los dos términos vemos un factor en común que es a.
Ahora, dividimos cada termino en el factor común de la siguiente manera:

      a^2  = a
a

        ab  = b
a 

Luego escribimos el factor común y dento de paréntesis los cocientes que dieron como resultado:

a (a + b)

► 96 - 48mn^2 + 144n^3 → El máximo común múltiplo de los numerales es 48, y no hay literal en común, así que el factor común es 48.
Al realizar las divisiones queda:

                               96 - 48mn^2 + 144n^3  = 2 - mn^2 + 3n^3

48

Por lo tanto la respuesta es:

48 (2 - mn^2 + 3n^3)

► 34ax^2 + 51a^2y - 68ay^2 → Máximo Común Múltiplo = 17; Literales comunes = a.
Dividimos:

                              34ax^2 + 51a^2y - 68ay^2  = 2x^2 + 3ay - 4y^2

17a

Respuesta:

17a (2x^2 + 3ay - 4Y^2)

• Polinomio 

Factorar o descomponer en dos factores:

► a (x + 1) + b (x + 1) → En los dos términos vemos un factor en común que es (x + 1).

Ahora, dividimos cada termino en el factor común de la siguiente manera:

             a (x + 1) + b (x + 1)  = a + b

x + 1

Y el resultado queda:

(x+1)(a+b)

► x(2a+b+c)-2a-b-c → Ésta expresión la podemos escribir también así: x(2a+b+c)-1(2a+b+c), haciendo de esta forma mas visible el factor común que será (2a+b+c).
Dividimos:

              x (2a + b + c) - 1 (2a + b + c)  = x - 1

(2a + b + c)

Entonces la respuesta será:

(2a+b+c)(x-1)

► a(n+1)-b(n+1)-n-1 → Ésta expresión la podemos escribir también así:
a(n+1)-b(n+1)-1(n+1), siendo el factor común (n+1).
Dividimos:

                  a (n + 1) - b (n + 1) - 1 (n + 1)  = a - b - 1

(n + 1)

Entonces la respuesta será:

(n + 1) (a - b - 1)